Question

14．設(shè)直線l與拋物線y²=4x相交于A、B兩點(diǎn)，與圓（x-5）²+y²=r²（r＞0）相切于點(diǎn)M，且M為線段AB的中點(diǎn)，若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是（　　）

• A． （1，3）
• B． （1，4）
• C． （2，3）
• D． （2，4）

Answer 1

分析 先確定M的軌跡是直線x=3，代入拋物線方程可得y=±2$\sqrt{3}$，所以交點(diǎn)與圓心（5，0）的距離為4，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），
斜率存在時，設(shè)斜率為k，則y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=4{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=4{x}_{2}}\end{array}$，相減，得（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
當(dāng)l的斜率存在時，利用點(diǎn)差法可得ky₀=2，
因?yàn)橹本�與圓相切，所以$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-5}$=-$\frac{1}{k}$，所以x₀=3，
即M的軌跡是直線x=3．
將x=3代入y²=4x，得y²=12，∴-2$\sqrt{3}＜{y}_{0}＜2\sqrt{3}$，
∵M(jìn)在圓上，∴（x₀-5）²+y₀²=r²，∴r²=y₀²+4＜12+4=16，
∵直線l恰有4條，∴y₀≠0，∴4＜r²＜16，
故2＜r＜4時，直線l有2條；
斜率不存在時，直線l有2條；
所以直線l恰有4條，2＜r＜4，
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．