【題目】已知橢圓E: (a>b>0)的左焦點F1與拋物線y2=﹣4x的焦點重合,橢圓E的離心率為 ,過點M(m,0)(m> )做斜率存在且不為0的直線l,交橢圓E于A,C兩點,點P( ,0),且 為定值.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過點M且垂直于l的直線與橢圓E交于B,D兩點,求四邊形ABCD面積的最小值.
【答案】
(1)
解:拋物線y2=﹣4x的焦點為(﹣1,0),∴F1(1,0),∴c=1,又 ,a2=b2+c2,
解得c=1=b,a2=2.
∴橢圓E的方程為: +y2=1
(2)
解:設直線l的方程為:ty+m=x,A(x1,y1),C(x2,y2).
聯(lián)立 ,化為:(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0.
△>0,∴y1+y2= ,y1y2= .
= +y1y2= +y1y2
= (y1+y2)+(t2+1)y1y2+
= +(t2+1) + = 為定值.
∴ = ,化為:3m2﹣5m+2=0, ,解得m=1.
∴M(1,0).
∴y1+y2= ,y1y2= .
∴|AC|= = = ,
把 代換t可得:|BD|= .
∴S四邊形ABCD= |AC||BD|= × × = ,
令t2+1=k>1,則f(k)= = = = ≥ ,
當 = ,即k=2,t=±1時取等號.
∴四邊形ABCD面積的最小值為
【解析】(1)拋物線y2=﹣4x的焦點為(﹣1,0),可得c=1,又 ,a2=b2+c2 , 聯(lián)立解出即可得出.(2)設直線l的方程為:ty+m=x,A(x1 , y1),C(x2 , y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:(t2+2)y2+2tmy+m2﹣2=0.把根與系數(shù)的關系代入 = +y1y2= (y1+y2)+(t2+1)y1y2+ = 為定值.可得 = ,解得m=1.可得|AC|= = ,把 代換t可得:|BD|= .利用S四邊形ABCD= |AC||BD|與二次函數(shù)的單調性即可得出.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質.下列函數(shù)中具有T性質的是( 。
A.y=sinx
B.y=lnx
C.y=ex
D.y=x3
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【題目】已知過拋物線y2=4x焦點F的直線l交拋物線于A、B兩點(點A在第一象限),若 =3 ,則直線l的方程為( )
A.x﹣2y﹣1=0
B.2x﹣y﹣2=0
C.x﹣ y﹣1=0
D. x﹣y﹣ =0
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【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的定義域;
(Ⅱ)判定f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)用函數(shù)單調性定義證明:f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
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【題目】若函數(shù)f(x)=a(x﹣2)ex+lnx+ 在(0,2)上存在兩個極值點,則a的取值范圍為( )
A.(﹣∞,﹣ )
B.(﹣ , )∪(1,+∞)
C.(﹣∞,﹣ )
D.(﹣∞,﹣ )∪(﹣﹣ ,﹣ )
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【題目】某中學早上8點開始上課,若學生小典與小方均在至之間到校,且兩人在該時間段的任何時刻到校都是等可能的,則小典比小方至少早5分鐘到校的概率為__________.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知圓:和圓.
(1)若直線過點,且與圓相切,求直線的方程;
(2)若直線過點,且被圓截得的弦長為,求直線的方程.
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