Question

已知函數(shù)f（x）=blnx-ax+1（ab＞0）
（1）討論f（x）在其定義域上的單調(diào)性．
（2）若b=1時，f（x）≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）b=1時，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，求出y=

lnx+1

x

的最大值，即可求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=blnx-ax+1（ab＞0），
∴f′（x）=

b

x

-a=

b-ax

x

，
當a＞0，b＞0時，由f′（x）＞0，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（0，

b

a

）；
由f′（x）＜0，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

b

a

，+∞）；
當a＜0，b＜0時，由f′（x）＞0，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（

b

a

，+∞）；
由f′（x）＜0，結合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0，

b

a

）；
（2）b=1時，f（x）≤0恒成立，即lnx-ax+1≤0恒成立，即a≥

lnx+1

x

恒成立，
設y=

lnx+1

x

，則y′=

-lnx

x2

，
∴函數(shù)y=

lnx+1

x

在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x=1時，y=

lnx+1

x

的最大值為1，
∴a≥1．

點評：本題考查求實數(shù)a的取值范圍，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立求參數(shù)的取值范圍問題．恒成立求參數(shù)的取值范圍問題是近幾年高考中出現(xiàn)頻率相當高的一類型題，它比較全面的考查了導數(shù)的應用，突出了導數(shù)的工具性作用．