Question

若正整數(shù)N=

n

i=1

ai（a_i∈N^*），稱T=

n π

i=1

a_i為N的一個(gè)“分解積”，
（1）當(dāng)N分別等于6，7，8時(shí)，它們的“分解積”的最大值分別為

 

（2）當(dāng)N=3m+1（m∈N^*）時(shí)，它的“分解積”的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）N=6=3+3，分解積的最大值為3×3=9，N=7=3+2+2，分解積的最大值為3×2×2=12，N=8=3+3+2，分解值的最大值為3×3×2=18．
（2）由已知推導(dǎo)出a_k（k=1，2，…）中，只能出現(xiàn)2或3或4，且2不能超過2個(gè)，4不能超大型過1個(gè)，由此能求出當(dāng)N=3m+1（m∈N^*）時(shí)，它的“分解積”的最大值為4×3^m-1．

解答： 解：（1）∵正整數(shù)N=

n

i=1

ai（a_i∈N^*），T=

n π

i=1

a_i為N的一個(gè)“分解積”，
6=3+3，
∴N=6時(shí)，分解積的最大值為3×3=9，
∵7=3+2+2，
∴N=7時(shí)，分解積的最大值為3×2×2=12，
∵8=3+3+2，
∴N=8時(shí)，分解值的最大值為3×3×2=18．
（2）由（1）知a_k（k=1，2，…）中可以有2個(gè)2，
當(dāng)a_k（k=1，2，…）有3個(gè)或3個(gè)以上的2時(shí)，
∵2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
∴此時(shí)分解積不是最大的，
∴a_k（k∈N^*）中最多有2個(gè)2；
當(dāng)a_k（k=1，2，…）中有1時(shí)，
∵1+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，
∴此時(shí)分解積不是最大，可以將1加到其他數(shù)中，
使得分解積變大；
當(dāng)a_k（k=1，2，…）中有4時(shí)，
若將4分解為1+3，分解值不會(huì)最大，
若將4分解為2+2，則分解積相同；
若有兩個(gè)4，∵4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，
∴將4+4改寫為3+3+2，使得分解積更大．
故a_k（k=1，2，…）中至多有1個(gè)4，而且可寫成2+2，
綜上所述，a_k（k=1，2，…）中，只能出現(xiàn)2或3或4，
且2不能超過2個(gè)，4不能超大型過1個(gè)，
∴當(dāng)N=3m+1（m∈N^*）時(shí)，它的“分解積”的最大值為4×3^m-1．
故答案為：9，12，18；4×3^m-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分解積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．