Question

如圖，，是兩個小區(qū)的所在地，，到一條公路的垂直距離km，km，兩端之間的距離為4km．某公交公司將在之間找一點(diǎn)，在處建造一個公交站臺．

（1）設(shè)，試寫出用表示正切的函數(shù)關(guān)系式，并給出的范圍；

（2）能否找到一點(diǎn)，使點(diǎn)到C，D兩小區(qū)的距離之和（）最小．若能，請說明理由，并求出的值；若不能，也請說明理由．

 

Answer 1

（1）（4，且） （2）

【解析】

試題分析：解決實(shí)際問題時，應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息，理解題意，明確其中的數(shù)量關(guān)系，并引入變量，依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì)求解；（2）在求所列函數(shù)的最值時，可用幾何法作出輔助線；（3）若用基本不等式，則應(yīng)將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇好利用基本不等式的切入點(diǎn).

試題解析：（1）由題知，令，，

則，，

所以

=（4，且）

（2）過點(diǎn)C作直線AB的對稱點(diǎn)M，連結(jié)DM，交AB于點(diǎn)N，則點(diǎn)N即為所求的點(diǎn).

在AB上任取一不同于點(diǎn)N的點(diǎn)P，邊結(jié)CP，DP，

則，所以在點(diǎn)N處的值最小.

如圖設(shè)，此時，

即=，

所以.

考點(diǎn)：函數(shù)定義、性質(zhì)的應(yīng)用.