Question

某少兒電視節(jié)目組邀請(qǐng)了三組明星家庭（明星爸爸及其孩子）一起參加50米趣味賽跑活動(dòng)．已知這三組家庭的各方面情況幾乎相同，要求從比賽開(kāi)始明星爸爸必須為自己的孩子領(lǐng)跑，直至完成比賽．記這三位爸爸分別為A、B、C，其孩子相應(yīng)記為a，b，c．
（Ⅰ）若A、B、C、a為前四名，求第二名為孩子a的概率；
（Ⅱ）設(shè)孩子a的成績(jī)是第X名，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式

專(zhuān)題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由題意，可將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：A、B、C、a的成績(jī)進(jìn)行了四步驟排序，分類(lèi)列舉，即可求第二名為孩子a的概率；
（Ⅱ）設(shè)孩子a的成績(jī)是第X名，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，可將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：A、B、C、a的成績(jī)進(jìn)行了四步驟排序，
分類(lèi)列舉（不考慮D、F）：
若a第2名，則A必在第一名，故有

A

2 2

=2種．
若a第3名，則A在a前，故有

C

1 2

A

2 2

=4種．
若a第4名，則有

A

3 3

=6種．
故第二名為孩子a的概率是P=

2

12

=

1

6

．
（Ⅱ）由題意，可將上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為A、B、C、a、b、c進(jìn)行了排序，且要求A在a前，B在b前，C在c前．孩子a的成績(jī)可以是第2名、第3名、第4名、第5名、第6名．
即X=2，3，4，5，6
P（X=2）=

C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

1

15

，P（X=3）=

C 1 2 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

2

15

，P（X=4）=

C 1 3 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

3

15

，
P（X=5）=

C 1 4 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

4

15

，P（X=6）=

C 1 4 C 2 4 C 2 2

C 2 6 C 2 4 C 2 2

=

5

15

．

X	2	3	4	5	6
P	1 15	2 15	3 15	4 15	5 15

∴EX=2×

1

15

+3×

2

15

+4×

3

15

+5×

4

15

+6×

5

15

=

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握分布列和數(shù)學(xué)期望及其排列與組合的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．