Question

8．已知奇函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f′（x）為其導函數(shù)，且滿足以下條件
①x＞0時，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$；②f（1）=$\frac{1}{2}$；③f（2x）=2f（x）
則不等式$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²的解集為（　�。�

• A． （-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$）
• B． （-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）
• C． （-$\frac{1}{4}$，0）∪（0，$\frac{1}{4}$）
• D． ∅

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，依題意，可分析得到F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$為偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，在（-∞，0）上單調(diào)遞增，$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²?$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），從而可得答案．

解答 解：令F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，則F′（x）=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵x＞0時，f′（x）＜$\frac{3f（x）}{x}$，
∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，又f（x）為奇函數(shù)，
∴F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$為偶函數(shù)，
∴F（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2x）=2f（x），
∴f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{4}$，f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{8}$，
∴F（$\frac{1}{4}$）=$\frac{f（\frac{1}{4}）}{{（\frac{1}{4}）}^{3}}$=8，
∴$\frac{f（x）}{4x}$＜2x²?$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$＜8，即F（x）＜F（$\frac{1}{4}$），故|x|＞$\frac{1}{4}$，
解得：x∈（-∞，-$\frac{1}{4}$）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）．
故選：B．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)F（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$是關(guān)鍵，也是難點，考查分析、推理與邏輯思維能力，屬于難題．