Question

7．記定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．如果存在x₀∈[a，b]，使得f（b）-f（a）=f′（x₀）（b-a）成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上的“中值點(diǎn)”．那么函數(shù)f（x）=x+lnx在區(qū)間[e，e²]上的“中值點(diǎn)”為e²-2．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，代入新定義公式，求出中值點(diǎn)．

解答 解：∵f（x）=x+lnx，
∴f′（x）=1+$\frac{1}{x}$，
設(shè)x₀為f（x）在區(qū)間[e，e²]上的“中值點(diǎn)”，
∴f（e²）-f（e）=f′（x₀）（e²-e），
∴e²+2-e-1=f′（x₀）（e²-e），
∴f′（x₀）=1+$\frac{1}{{e}^{2}-e}$
∴1+$\frac{1}{{x}_{0}}$=1+$\frac{1}{{e}^{2}-e}$
∴x₀=e²-e，
故答案為：e²-e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及對(duì)新定義的理解、分析和計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．