Question

已知函數(shù)f（x）=sin²

π

4

x-

3

sin

π

4

xcos

π

4

x
（1）求f（x）的最大值及此時x的值；
（2）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用二倍角余弦公式將三角函數(shù)的平方降冪，化簡三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求出最值．
（2）利用周期公式求出函數(shù)的周期，求出要求式子共有的周期數(shù)，求出一個周期內(nèi)包含的函數(shù)值的和，再求出所有函數(shù)值的和即可．

解答： （本題14分）
解：（1）f(x)=

1

2

-

1

2

cos

π

2

x-

3

2

sin

π

2

x=

1

2

-sin(

π

2

x+

π

6

)…（4分）
∴x=4k-

4

3

(k∈z)時，f(x)max=

3

2

…（4分）
（2）函數(shù)的周期T=4，f（1）=

1

2

-

3

2

，f（2）=

1

2

+

1

2

，f（3）=

1

2

+

3

2

，f（4）=

1

2

-

1

2

，
ff（4k+1）=

1

2

-

3

2

，f（4k+2）=

1

2

+

1

2

，f（4k+3）=

1

2

+

3

2

，f（4k+4）=

1

2

-

1

2

，
f（4k+1）+f（4k+2）+f（4k+3）+f（4k+4）=2，
故：f（1）+f（2）++f（2011）=502×2+f（1）+f（2）+f（3）=1006．

點評：本題考查三角函數(shù)的二倍角公式、三角函數(shù)的周期公式并利用周期求函數(shù)值的和，屬于基本知識的考查．