Question

如圖，在半徑為

3

，圓心角為60°的扇形的弧上任取一點(diǎn)P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點(diǎn)Q在OA上，點(diǎn)M，N在OB上，設(shè)矩形PNMQ的面積為y．
（1）設(shè)∠POB=θ，求y表示成θ的函數(shù)；
（2）請(qǐng)根據(jù)你在（1）中寫出的函數(shù)解析式，求出y的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接利用解直角三角形知識(shí)求出關(guān)系式．注意定義域的范圍．
（2）利用（1）的結(jié)論對(duì)關(guān)系式進(jìn)行恒等變換，變換成正弦型函數(shù)，最后利用定義域求函數(shù)的值域．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，PO=

3

所以PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ
在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=

3

sinθ

所以O(shè)M=

QM

tan∠QON

=

3 sinθ

tan60°

=sinθ

所以：MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ
所以y=PN•NM=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)
即：y=3sinθcosθ-

3

sin²θ（0＜θ＜

π

3

）
（2）由（1）得
y=3sinθcosθ-

3

sin²θ
=

3

2

sin2θ-

3

1-cos2θ

2

=

3

(sin2θcos

π

6

+cos2θsin

π

6

）-

3

2

=

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

由于：0＜θ＜

π

3

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

1

2

＜sin(2θ+

π

6

)≤1
所以：0＜

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

≤

3

2

即：0＜y≤

3

2

最大值為：

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：解直角三角形和三角關(guān)系式的恒等變換，利用定義域求函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題型．