Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，其他四個側(cè)面都是等邊三角形，與的交點(diǎn)為，為側(cè)棱上一點(diǎn).

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）當(dāng)二面角的大小為時，

試判斷點(diǎn)在上的位置，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）點(diǎn)是的中點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）解法一：由四棱錐的側(cè)面都是等邊三角形，可得，再由O為底面中心，可得，，由線面垂直的判定可得，從而得到平平面平面；

解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明即可；

（Ⅱ）這是一個一個二面角為條件，寫出點(diǎn)的位置，做法同求兩個平面的夾角一樣，設(shè)出求出法向量，根據(jù)兩個向量的夾角得到點(diǎn)要滿足的條件，求出點(diǎn)的位置．

證明：（Ⅰ）解法一：

由已知可得，,是中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)?/span>，所以平面平面.

解法二：證明：由（Ⅰ）知，.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四棱錐的底面邊長為2，

則，，，，，.

所以，.

設(shè)（），由已知可求得.

所以，.

設(shè)平面法向量為，

則 即

令，得.

易知是平面的法向量.

因?yàn)?/span>，

所以，所以平面平面.

（Ⅱ）解：設(shè)（），由（Ⅱ）可知，

平面法向量為.

因?yàn)?/span>，

所以是平面的一個法向量.

由已知二面角的大小為.

所以，

所以，解得.

所以點(diǎn)是的中點(diǎn).