Question

【題目】設(shè)f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≥ 對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）≤x+2得：

或 或 ，

即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈，

解得0≤x≤2，

所以f（x）≤x+2的解集為[0，2]

（2）解： =|1+ |﹣|2﹣ |≤|1+ +2﹣ |=3，

當(dāng)且僅當(dāng)（1+ ）（2﹣ ）≤0時(shí)，取等號(hào)．

由不等式f（x）≥ 對(duì)任意實(shí)數(shù)a≠0恒成立，

可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即 或 或 ，

解得x≤﹣ 或x≥ ，

故實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]∪[ ，+∞）

【解析】（1）運(yùn)用絕對(duì)值的含義，對(duì)x討論，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉絕對(duì)值，得到不等式組，解出它們，再求并集即可得到解集；（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，可得不等式右邊的最大值為3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去絕對(duì)值的方法，即可解得x的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解絕對(duì)值不等式的解法的相關(guān)知識(shí)，掌握含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)．