Question

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-

π

6

）+2cos²x-1，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知f（A）=

1

2

，b，a，c成等差數(shù)列，且

AB

•

AC

=9，求S_△ABC及a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)解析式可得f（x）=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)，由周期公式可求最小正周期，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，又0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，可解得A，由b，a，c成等差數(shù)列得2a=b+c，由

AB

•

AC

=9，得bc的值，即可根據(jù)面積公式求得面積，由余弦定理即可求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin(2x-

π

6

)+2cos2x-1=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x=sin(2x+

π

6

)
最小正周期為

2π

2

=π
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）可解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）
（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，

π

6

＜2A+

π

6

＜2π+

π

6

，
于是2A+

π

6

=

5π

6

，
故解得：A=

π

3

由b，a，c成等差數(shù)列得：2a=b+c，
由

AB

•

AC

=9，得bccosA=9，

1

2

bc=9，bc=18
S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×18×

3

2

=

9 3

2

．
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc，
于是a²=4a²-54，a²=18，a=3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等差數(shù)列的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，熟練應(yīng)用相關(guān)知識和定理是解題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，屬于基本知識的考查．