Question

已知直線y=kx+1與曲線f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先研究函數(shù)的奇偶性，通過分類討論，去掉絕對值符號，畫分段函數(shù)的圖象，作出其圖象即可得到答案．

解答： 解：函數(shù)f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|滿足f（-x）=|-x-

1

x

|-|-x+

1

x

|=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)，
只作出x＞0時(shí)的圖象即可，
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|=x+

1

x

-|x-

1

x

|=

2x，0＜x＜1 2 x ，x≥1

，
則當(dāng)x＜0時(shí)的圖象與當(dāng)x＞0時(shí)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f（x）整個(gè)函數(shù)的圖象易得，在同一個(gè)坐標(biāo)系畫函數(shù)y=f（x）與直線y=kx+1的圖象如下：

由于直線y=kx+1經(jīng)過定點(diǎn)A（0，1），要使直線y=kx+1與曲線f（x）=|x+

1

x

|-|x-

1

x

|恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴當(dāng)過A點(diǎn)的直線m與曲線y=-

2

x

相切或直線m與曲線y=

2

x

相切時(shí)有4個(gè)交點(diǎn)，即有四個(gè)公共點(diǎn)，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為：（x₀，y₀），則k=（-

2

x

）′|x=x₀=

2

x02

，
∴y₀=-

2

x0

=kx₀+1=

2

x02

•x₀+1，解得；x₀=-4，
∴k=

1

8

；
同理，可得另一條相切時(shí)斜率為k′=-

1

8

；
當(dāng)過A點(diǎn)的直線l∥x軸，即其斜率為0時(shí)，直線l與曲線y=f（x）|有四個(gè)公共點(diǎn)；
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是{

1

8

，0，-

1

8

}．
故答案為：{

1

8

，0，-

1

8

}．

點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，對于此類題目，去絕對值符號，把函數(shù)化為分段函數(shù)考慮是解題的關(guān)鍵．