Question

9．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$（n∈N^*）等于同一個非零的常數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}為“和等比數(shù)列”，給出下列結(jié)論：①等比數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”；②非等差等比數(shù)列不可能為“和等比數(shù)列”；③若正數(shù)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，且數(shù)列{lna_n}是“和等比數(shù)列”，則q=a${\;}_{1}^{2}$，其中有正確的結(jié)論的序號的是①③．

Answer 1

分析 ①舉例說明等比數(shù)列可以為“和等比數(shù)列”；
②舉例說明非等差等比數(shù)列也可能為“和等比數(shù)列”；
③當(dāng)正數(shù)數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列時，{lna_n}是等差數(shù)列，根據(jù)題意得出公比q=a₁²．

解答 解：對于①，設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，前n項和為S_n，
當(dāng)q=1時，$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{2{na}_{1}}{{na}_{1}}$=2，數(shù)列{a_n}為“和等比數(shù)列”，①正確；
對于②，非等差等比數(shù)列也可能為“和等比數(shù)列”，如1，0，1，0，1，0，②錯誤；
對于③，當(dāng)正數(shù)數(shù)列{a_n}是公比為q的等比數(shù)列，設(shè)a_n=a₁q^n-1，則
lna_n=ln（a₁q^n-1）=lna₁+（n-1）lnq，
∴{lna_n}是公差為lnq的等差數(shù)列，
∴$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{n}}$=$\frac{2n•l{na}_{1}+\frac{1}{2}•2n（2n-1）•lnq}{n•l{na}_{1}+\frac{1}{2}•n（n-1）•lnq}$=k（k≠0），
∴l(xiāng)na₁=$\frac{1}{2}$lnq，
∴q=a₁²，③正確；
綜上，正確的命題是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查了新定義的命題及其應(yīng)用問題，考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項和以及求和公式的應(yīng)用問題，是綜合性題目．