Question

20．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₄=5，S₅=20，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100項和為（　�。�

• A． $\frac{99}{202}$
• B． $\frac{25}{51}$
• C． $\frac{100}{101}$
• D． $\frac{51}{101}$

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式可得a_n，再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₄=5，S₅=20，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+3d=5}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}•d=20}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$．
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100項和S₁₀₀=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{101}-\frac{1}{102}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{102}$
=$\frac{25}{51}$．
故選：B．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．