Question

19．已知f（x）=x²-ax+4．
（1）若f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，求a的取值范圍；
（2）若方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有兩個(gè)解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，得到a≤x+$\frac{4}{x}$在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，利用基本不等式求出右邊的最小值，即可求a的取值范圍；
（2）f（x）=3，a=x+$\frac{1}{x}$，結(jié)合基本不等式，利用方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有兩個(gè)解，求a的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）≥0在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，得到a≤x+$\frac{4}{x}$在[$\frac{1}{2}$，4]上恒成立，
∵x+$\frac{4}{x}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào)，
∴a≤4；
（2）f（x）=3，∴a=x+$\frac{1}{x}$，
由g（x）=x+$\frac{1}{x}$，在[$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞減，（1，4]上單調(diào)遞增，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{5}{2}$，g（4）=$\frac{17}{4}$，g（1）=2，$\frac{17}{4}＞\frac{5}{2}$，
∴方程f（x）=3在[$\frac{1}{2}$，4]上有兩個(gè)解，a的取值范圍是（2，$\frac{5}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題，考查基本不等式的運(yùn)用，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．