在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知，（i=1，2，3…，n，…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，且點(diǎn)B1，B2…Bn…在同一條曲線C上，那么曲線C的方程是    ；設(shè)點(diǎn)Bn（i=1，2，…n…）的橫坐標(biāo)是n（n∈N*）的函數(shù)f（n），那么f（n）=    ．
【答案】分析：根據(jù)，（i=1，2，3…，n，…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，且點(diǎn)B1，B2…Bn…在同一條曲線C上，可得Bn橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的表達(dá)式，由此可得結(jié)論．
解答：解：設(shè)Bn（x，y），則
∵（i=1，2，3…，n，…），
∴=2i-1
∴=+（）+…+=+1+3+…+（2i-1）=-+i2
∵△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，
∴x=[+n2-+（n-1）2]=，y=[+n2+-（n-1）2]=（2n-1）
消去n得y2=3x．
∴曲線C的方程是y2=3x，f（n）=
故答案為：y2=3x，f（n）=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用、考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，A（-3，4），B（6，-2）．C（4，6），D在AB上，且2AD=BD
（1）求
AB
的坐標(biāo)及|
1
2
BC
|；
（2）若
OE
=
OA
+
OB
，  
OF
=
OA
-
OB
，求
OE
•
OF
；
（3）求向量
DB
與
DC
夾角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知
OA1
=（-
1
4
，0），
AiAi+1
=（2i-1，0）（i=1，2，…，n…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n…）是等邊三角形，且點(diǎn)B1，B2，…，Bn，…在同一條拋物線C上，那么拋物線C的方程是
y2=3x
y2=3x
；點(diǎn)B6的橫坐標(biāo)是
121
4
121
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•通州區(qū)一模）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知
OA1
=(-
1
4
，0)，
AiAi+1
=(2i-1，0)（i=1，2，3…，n，…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n，…）是等邊三角形，且點(diǎn)B1，B2…Bn…在同一條曲線C上，那么曲線C的方程是
y2=3x；
y2=3x；
；設(shè)點(diǎn)Bn（i=1，2，…n…）的橫坐標(biāo)是n（n∈N*）的函數(shù)f（n），那么f（n）=
(n-
1
2
)2
(n-
1
2
)2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012年北京市通州區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知=（-，0），=（2i-1，0）（i=1，2，…，n…），△AiBiAi+1（i=1，2，…，n…）是等邊三角形，且點(diǎn)B1，B2，…，Bn，…在同一條拋物線C上，那么拋物線C的方程是    ；點(diǎn)B6的橫坐標(biāo)是    ．

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