Question

橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在x軸上，以橢圓的短軸的一個端點B與兩個焦點F₁、F₂為頂點的三角形的周長是8+4

3

，且∠BF₁F₂=

π

6

．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線y=x+1與橢圓交于點M、N，求線段|MN|的長．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的定義和幾何性質(zhì)，求出a、b、c的值即可；
（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式，求出線段|MN|的值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c，
∵△BF₁F₂的周長是8+4

3

，
∴2a+2c=8+4

3

，
∴a+c=4+2

3

；
又∵∠BF₁F₂=

π

6

，
∴

c

a

=

3

2

，
解得

a=4 c=2 3

，
∴b=2，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

16

+

y2

4

=1；（5分）
（2）由直線方程與橢圓方程聯(lián)立

y=x+1 x2 16 + y2 4 =1

，
消去x并整理得，5x²+8x-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

8

5

，x₁x₂=-

12

5

，
線段|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 38

5

．（10分）

點評：本題考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題，考查了求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及求直線與橢圓相交所得的弦長的問題，是中檔題．