Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|ax-x²|+2b（a，b∈R）．
（1）當(dāng)b=0時(shí)，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）已知a為常數(shù)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）-2x）_max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘
（2）函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點(diǎn)，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解，分類(lèi)求出設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$的值域即可．

解答 解：（1））當(dāng)b=0時(shí)，若不等式：x|a-x|≤2x，
在x∈[0，2]上恒成立；
當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，則a∈R；
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，則|a-x|≤2，
在[0，2]上恒成立，即-2≤x-a≤2在（0，2]上恒成立，
因?yàn)閥=x-a在（0，2]上單調(diào)增，y_max=2-a，y_min=-a，
則 $\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2}\\{-a≥-2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤2；
則實(shí)數(shù)a的取值范圍為[0.2]；
（2）函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點(diǎn)，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解；
設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$，
當(dāng)a≤0時(shí)，則h（x）=x²-ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上單調(diào)增，
所以h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
則當(dāng) $\frac{{a}^{2}}{4}$0≤-2b≤4-2a時(shí)，原方程有解，則a-2≤b≤0；
當(dāng)a＞0時(shí)，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{{-x}^{2}+ax，x＜a}\end{array}\right.$，
h（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上單調(diào)增，在[$\frac{a}{2}$，a]上單調(diào)減，在[a，+∞）上單調(diào)增；
①當(dāng)$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4時(shí)，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
則當(dāng)則當(dāng)0≤-2b≤2a-4時(shí)，原方程有解，則2-a≤b≤0；
②當(dāng)$\frac{a}{2}$＜2≤a，即2≤a＜4時(shí)，h（x）_min=h（0）=0，
h（x）_max=h（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則當(dāng)0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$時(shí)，原方程有解，則-$\frac{{a}^{2}}{8}$≤b≤0；
③當(dāng)0＜a＜2時(shí)，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=max{h（2），
h（$\frac{a}{2}$）=max{4-2a，$\frac{{a}^{2}}{4}$}
當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}$≥4-2a，即當(dāng)-4+4$\sqrt{2}$≤a＜2時(shí)，h（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則當(dāng)0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$時(shí)，原方程有解，則-$\frac{{a}^{2}}{8}$≤b≤0；
當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}$＜4-2a，即則0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$時(shí)，h（x）_max=4-2a，
則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時(shí)，原方程有解，則a-2≤b≤0；
綜上，當(dāng)0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[a-2，0]；
當(dāng)-4+4$\sqrt{2}$≤a＜4時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[-$\frac{{a}^{2}}{8}$，0]；
當(dāng)a≥4時(shí)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為[2-a，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的值域問(wèn)題，及分類(lèi)討論思想，屬于綜合題．