Question

5．記max{a₁，a₂，…a_n}為a₁，a₂，…，a_n中最大的數(shù)．已知f（x）=max{x，x²}{-1≤x≤3}
（1）求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）設(shè)P，A，B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x，f（x）），（0，-1），（2，0），且P，A，B三點(diǎn)可以構(gòu)成三角形，求三角形PAB的面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將函數(shù)y=f（x）的解析式寫成分段函數(shù)的形式，分段求出函數(shù)值的取值范圍，綜合討論結(jié)果，可得函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）求出線段AB的長(zhǎng)及直線AB的方程，分析出函數(shù)圖象上的點(diǎn)到直線AB的距離范圍，進(jìn)而可得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=max{x，x²}=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}，-1≤x≤0，或1≤x≤3\\ x，0＜x＜1\end{array}\right.$，
當(dāng)-1≤x≤0時(shí)，f（x）=x²∈[0，1]，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=x∈（0，1），
當(dāng)1≤x≤3，f（x）=x²∈[1，9]，
綜上所述，函數(shù)y=f（x）的值域?yàn)閇0，9]；
（2）∵A，B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，-1），（2，0），
故直線AB所在直線的方程為：$\frac{x}{2}-y=1$，即x-2y-2=0，
且AB=$\sqrt{5}$，
由（1）得：函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，（0，0）點(diǎn)距離直線AB最近，
此時(shí)三角形PAB的高為$\frac{2}{\sqrt{5}}$，三角形PAB的面積取最小值1，
函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)，（3，9）點(diǎn)距離直線AB最遠(yuǎn)，
此時(shí)三角形PAB的高為$\frac{17}{\sqrt{5}}$，三角形PAB的面積取最大值$\frac{17}{2}$，
故三角形PAB的面積的取值范圍為[1，$\frac{17}{2}$]

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的值域，三角形面積公式，難度中檔．