Question

6．已知函數(shù)y=f（x）滿足對任意實數(shù)x，y有f（x+y）=f（x）•f（y），且當x＞0，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：x＜0，f（x）＞1；
（3）討論函數(shù)y=f（x）的單調性；
（4）解不等式f（x²+x）＜f（3-x）．

Answer 1

分析 （1）令y=0，可求f（0）的值；
（2）證明0＜f（-x）＜1，f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，即可證明結論；
（3）利用函數(shù)單調性定義，結合條件f（x+y）=f（x）•f（y），將定義中的x₂化成x₁+（x₂-x₁）的形式，判斷并證明函數(shù)的單調性；
（4）利用函數(shù)f（x）定義域R上單調遞減，得到x²+2x-3＞0，即可解出本題結論．

解答 解：（1）令y=0，可得f（x+0）=f（x）•f（0），∴f（0）=1；
（2）設x＜0，則-x＞0，
∵當x＞0，0＜f（x）＜1，
∴0＜f（-x）＜1，
∵f（x-x）=f（x）f（-x）=1，
∴f（-x）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴0＜$\frac{1}{f（x）}$＜1，
∴f（x）＞1；
（3）在函數(shù)f（x）定義域R上任取自變量x₁，x₂且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∵f（x+y）=f（x）•f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）f（x₂-x₁）]-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]．
∵當x＞0時，有0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1．
∴函數(shù)f（x）定義域R上單調遞減．
（4）∵f（x²+x）＜f（3-x），
∴x²+x＞3-x．
∴x²+2x-3＞0，
∴x＜-3或x＞1，
∴不等式的解集為：（-∞，-3）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性定義和應用，考查解不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．