【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當時，關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，，求證：.

【答案】（1）當時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當時，在單調(diào)遞減．（2）證明見解析；

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解：函數(shù)的定義域是，

，

①當，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

②當，即時，在單調(diào)遞減．

（2）證明：設，

所以，

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；

所以在處取得最大值．

當時，方程有兩個不同的實數(shù)解，

所以函數(shù)的兩個不同的零點，，一個零點比1小，一個零點比1大．

不妨設，

由，且，得，且，

則，所以，

所以，令，，

．，，，

所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，

所以，

又因為，所以．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】2020年3月，國內(nèi)新冠肺炎疫情得到有效控制，人們開始走出家門享受春光.某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優(yōu)惠方案如下表：

購票人數(shù)

1~50

51~100

100以上

門票價格

13元/人

11元/人

9元/人

兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數(shù)之差為（ ）

A.20B.30C.35D.40

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】等差數(shù)列和等比數(shù)列中， ，，是前項和.

(1)若 ，求實數(shù)的值；

(2)是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中?若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；

(3)是否存在正實數(shù)，使得數(shù)列中至少有三項在數(shù)列中，但中的項不都在數(shù)列中?若存在，求出一個可能的的值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓是橢圓內(nèi)任一點.設經(jīng)過的兩條不同直線分別于橢圓交于點記的斜率分別為

（1）當經(jīng)過橢圓右焦點且為中點時,求:

①橢圓的標準方程;

②四邊形面積的取值范圍.

（2）當時,若點重合于點,且.求證:直線過定點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“一帶一路”是“絲綢之路經(jīng)濟帶”和“21世紀海上絲綢之路”的簡稱，旨在積極發(fā)展我國與沿線國家經(jīng)濟合作關(guān)系，共同打造政治互信、經(jīng)濟融合、文化包容的命運共同體.自2015年以來，“一帶一路”建設成果顯著.如圖是2015—2019年，我國對“一帶一路”沿線國家進出口情況統(tǒng)計圖，下列描述錯誤的是( )

A.這五年，出口總額之和比進口總額之和大

B.這五年，2015年出口額最少

C.這五年，2019年進口增速最快

D.這五年，出口增速前四年逐年下降

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了解高中學生對數(shù)學課是否喜愛是否和性別有關(guān)，隨機調(diào)查220名高中學生，將他們的意見進行了統(tǒng)計，得到如下的列聯(lián)表.

喜愛數(shù)學課

不喜愛數(shù)學課

合計

男生

90

20

110

女生

70

40

110

合計

160

60

220

（1）根據(jù)上面的列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“喜愛數(shù)學課與性別”有關(guān)；

（2）為培養(yǎng)學習興趣，從不喜愛數(shù)學課的學生中進行進一步了解，從上述調(diào)查的不喜愛數(shù)學課的人員中按分層抽樣抽取6人，再從這6人中隨機抽出2名進行電話回訪，求抽到的2人中至少有1名“男生”的概率.

參考公式：.

P（）

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】假如你的公司計劃購買臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，在購進機器時，可以一次性額外購買幾次維修服務，每次維修服務費用200元，另外實際維修一次還需向維修人員支付小費，小費每次50元，在機器使用期間，如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務次數(shù)，則每維修一次需支付維修服務費用500元，無需支付小費，現(xiàn)需決策在購買機器時應同時一次性購買幾次維修服務，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，得下面統(tǒng)計表：

維修次數(shù)

8

9

10

11

12

頻數(shù)

10

20

30

30

10

記表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù)，表示1臺機器在維修上所需的費用（單位：元），表示購機的同時購買的維修服務次數(shù).

（1）若，求與的函數(shù)解析式.

（2）若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8，求的值.

（3）假設這100臺機器在購機的同時每臺都購買10次維修服務，或每臺都購買11次維修服務，分別計算這100臺機器在維修上所需費用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機器的同時應購買10次還是11次維修服務？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，如圖，曲線由曲線：和曲線：組成，其中點為曲線所在圓錐曲線的焦點，點為曲線所在圓錐曲線的焦點.

（Ⅰ）若，求曲線的方程；

（Ⅱ）如圖，作直線平行于曲線的漸近線，交曲線于點，求證：弦的中點必在曲線的另一條漸近線上；

（Ⅲ）對于（Ⅰ）中的曲線，若直線過點交曲線于點，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+…+an＝an+1﹣2.

（1）若a1＝2，求數(shù)列{an}的通項公式；

（2）若數(shù)列1，a2，a4，b1，b2，…bn，…成等差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.

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