Question

【題目】已知橢圓是橢圓內(nèi)任一點(diǎn).設(shè)經(jīng)過的兩條不同直線分別于橢圓交于點(diǎn)記的斜率分別為

（1）當(dāng)經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)且為中點(diǎn)時(shí),求:

①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

②四邊形面積的取值范圍.

（2）當(dāng)時(shí),若點(diǎn)重合于點(diǎn),且.求證:直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) ①;②;(2)見解析.

【解析】

(1) ①由方程可求出焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可求的斜率.設(shè)出,將 代入到橢圓方程中去,將所得方程相減整理, ,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)和的斜率可求.

②由分析知, 當(dāng)過點(diǎn)與的直線同時(shí)和橢圓相切時(shí)四邊形 的面積最大. 設(shè)切線方程為，與橢圓聯(lián)立整理后令，即可求出切點(diǎn)，進(jìn)而可求切點(diǎn)到直線的距離，由弦長公式求出的長度，進(jìn)而可求四邊形的面積.

(2)設(shè)出的方程,與橢圓聯(lián)立,得到橫坐標(biāo)的關(guān)系,由,可求出,進(jìn)而可知.因此可證過定點(diǎn).

(1) ①解:由題意知,.即橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

則.設(shè)

則 兩式相減整理得

是 的中點(diǎn), 解得

故橢圓的方程為.

②解:由題意知,當(dāng)過點(diǎn)與的直線同時(shí)和橢圓相切時(shí)四邊形 的面積最大.

由知，切線斜率也為.設(shè)切線方程為，與橢圓聯(lián)立得

，整理得，則

，解得.

則可求切點(diǎn)不妨設(shè)為 ，此時(shí)兩點(diǎn)到 的距離

設(shè)，聯(lián)立 ，整理得，則

由韋達(dá)定理知.

故.

(2)證明:當(dāng)時(shí),橢圓的方程為.

直線 的斜率存在且不為0,直線不過

設(shè)直線的方程為, 此時(shí)

聯(lián)立得,整理得

則.

即 整理得

解得 此時(shí)

故直線 恒過.