Question

2．設(shè)$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩陣$M=[{\begin{array}{l}a&2\\ 3&2\end{array}}]$的一個(gè)特征向量．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求矩陣M的特征值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩陣M屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，列出方程組，能求出實(shí)數(shù)a的值．
（2）由$f（λ）=|\begin{array}{l}1-λ\;\;\;\;2\\ 3\;\;\;\;\;\;\;2-λ\;\;\end{array}|=（1-λ）（2-λ）-6=0$，能求出矩陣M的特征值．

解答 解：（1）設(shè)$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$是矩陣M屬于特征值λ的一個(gè)特征向量，
則$[{\begin{array}{l}a&2\\ 3&2\end{array}}]$$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]=λ$$[{\begin{array}{l}2\\ 3\end{array}}]$，故$\left\{\begin{array}{l}2a+6=2λ\\ 12=3λ\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}λ=4\\ a=1.\end{array}\right.$，
故實(shí)數(shù)a=1．…（5分）
（2）$f（λ）=|\begin{array}{l}1-λ\;\;\;\;2\\ 3\;\;\;\;\;\;\;2-λ\;\;\end{array}|=（1-λ）（2-λ）-6=0$，
解得矩陣M的特征值λ₁=4，λ₂=-1．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查矩陣的特征值的求法，考查矩陣的特征向量、特征值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．