Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線為y=

3

x，有焦點F到直線x=

a2

c

的距離為

3

2

．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線與曲線C相較于B，D兩點，已知A（1，0），若

DF

•

BF

=1，證明：過A．B．D三點的圓與x軸相切．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,雙曲線的標準方程

專題：向量與圓錐曲線,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）依題意有

b

a

=

3

，c-

a2

c

=

3

2

，由a²+b²=c²，可解得a，c，b²的值，即可得解．
（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，則B（x₁，x₁+m），D（x₂，x₂+m），BD的中點為M，由

y=x+m x2- y2 3 =1

 又

DF

•

BF

=1，可得

DA

•

BA

=0，即AD⊥AB，又過A、B、D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，可得MA=

1

2

BD，從而可證過A、B、D三點的圓與x軸相切．

解答： 解：（Ⅰ）依題意有

b

a

=

3

，c-

a2

c

=

3

2

，
∵a²+b²=c²
∴c=2a
∴a=1，c=2
∴b²=3
∴曲線C的方程為x²-

y2

3

=1                        

（Ⅱ）設直線l的方程為y=x+m，則B（x₁，x₁+m），D（x₂，x₂+m），BD的中點為M，
由

y=x+m x2- y2 3 =1

 得 2x²-2mx-m²-3=0
∴x₁+x₂=m，x₁x₁=-

m2+3

2

∵

DF

•

BF

=1，即（2-x₁）（2-x₂）+（x₁+m）（x₂+m）=1，
∴m=0（舍）或m=2
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=-

7

2

 M點的橫坐標為

x1+x2

2

=1
∵

DA

•

BA

=（1-x₁）（1-x₂）+（x₁+2）（x₂+2）=5+2x₁x₂+x₁+x₂=5-7+2=0
∴AD⊥AB
∴過A、B、D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑
∵M點的橫坐標為1
∴MA⊥x，
∵MA=

1

2

BD，
∴過A、B、D三點的圓與x軸相切

點評：本題考查了圓錐曲線、直線與圓的知識，考查學生運用所學知識解決問題的能力．