Question

14．數(shù)列{a_n}，{b_n}都是等比數(shù)列，當n≤3時，b_n-a_n=2n，若數(shù)列{a_n}唯一，則a₁=（　�。�

• A． -2
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 設出等比數(shù)列{a_n}的公比，根據(jù)b_n-a_n=2n得到數(shù)列{b_n}的前三項，由等比數(shù)列的性質得到${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$，再由等比數(shù)列{a_n}唯一可得方程的判別式等于0，或判別式大于0時有一0根一非0根，由此求解a₁的值．

解答 解：設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則
當n=1時，b₁-a₁=2，b₁=a₁+2，
當n=2時，b₂-a₂=b₂-a₁q=4，b₂=a₁q+4，
當n=3時，b₃-a₃=$_{3}-{a}_{1}{q}^{2}$=6，$_{3}={a}_{1}{q}^{2}+6$，
∵{b_n}是等比數(shù)列，∴${_{2}}^{2}=_{1}_{3}$，即$（{a}_{1}q+4）^{2}=（{a}_{1}+1）（{a}_{1}{q}^{2}+6）$，
∴${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$，
∵數(shù)列a_n唯一，
∴若上式為完全平方式，
則△=b²-4ac=$16{{a}_{1}}^{2}-4{a}_{1}（3{a}_{1}-2）=4{{a}_{1}}^{2}+8{a}_{1}$=0．
解得a₁=-2（舍去）或者a₁=0（舍去）．
或△＞0時，方程${a}_{1}{q}^{2}-4{a}_{1}q+3{a}_{1}-2=0$有一0根和一非0根，
由根與系數(shù)關系得到3a₁-2=0，即${a}_{1}=\frac{2}{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的性質，訓練了二次方程有兩相等實根的條件，是中檔題．