Question

10．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足S_n=2a_n-a₁，n∈N^*．
（Ⅰ）若a₁=1，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若對(duì)于正整數(shù)m，p，q（m＜p＜q），5a_m，a_p，a_q這三項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐判蚝竽軜?gòu)成等差數(shù)列，試用m表示p和q；
（Ⅲ）已知數(shù)列{t_n}，{r_n}滿足|t_n|=|r_n|=a_n，數(shù)列{t_n}，{r_n}的前100項(xiàng)和分別為T₁₀₀，R₁₀₀，且T₁₀₀=R₁₀₀，試問：是否對(duì)于任意的正整數(shù)k（1≤k≤100）均有t_k=r_k成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由${S_n}=2{a_n}-{a_1}，n∈{N^*}$，利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，整理得a_n=2a_n-1，利用等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．對(duì)5a_m為a_p，a_q三項(xiàng)的順序分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．
（III）由${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}$，得$|{t_n}|=|{r_n}|={a_1}•{2^{n-1}}$，可得：t₁₀₀=r₁₀₀或t₁₀₀=-r₁₀₀，若t₁₀₀=-r₁₀₀，不妨設(shè)t₁₀₀＞0，r₁₀₀＜0，則${T_{100}}={t_1}+{t_2}+…+{t_{99}}+{t_{100}}≥-{a_1}-{a_1}•2-{a_1}•{2^2}-…-{a_1}•{2^{98}}+{a_1}•{2^{99}}$=a₁．則${R_{100}}={r_1}+{r_2}+…+{r_{99}}+{r_{100}}≤{a_1}+{a_1}•2+{a_1}•{2^2}+…+{a_1}•{2^{98}}-{a_1}•{2^{99}}$=-a₁．
由已知a₁＞0，∴R₁₀₀＜T₁₀₀，與已知不符，因此t₁₀₀=r₁₀₀，同理可得R₉₉=T₉₉，如此下去，t₉₈=r₉₈，…，t₁=r₁，．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}=2{a_n}-{a_1}，n∈{N^*}$，∴S_n-1=2a_n-1-a₁，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-a₁）-（2a_n-1-a₁），整理得a_n=2a_n-1，
又a_n＞0，∴$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}$=2，數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式${a_n}={2^{n-1}}$． 
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
①若5a_m為a_p，a_q的等差中項(xiàng)，則2×5a_m=a_p+a_q，
∴$2×5{a_1}{2^{m-1}}={a_1}{2^{p-1}}+{a_1}{2^{q-1}}$，化為2^p-m-1+2^q-m-1=5，
又m＜p＜q，m，p，q∈N^*，∴2^p-m-1=1，2^q-m-1=4，
∴p-m-1=0，q-m-1=2．即p=m+1，q=m+3．
②若a_p為5a_m，a_q的等差中項(xiàng)，則2a_p=5a_m+a_q，
∴$2{a_1}{2^{p-1}}=5{a_1}{2^{m-1}}+{a_1}{2^{p-1}}$，∴2^p=5×2^m-1+2^q-1，
∴2^p-m+1-2^q-m=5，等式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，等式不成立，舍去．
③若a_q為5a_m，a_p的等差中項(xiàng)，則2a_q=5a_m+a_p，同理也不成立．
綜上，p=m+1，q=m+3．      
（Ⅲ）由${a_n}={a_1}•{2^{n-1}}$，得$|{t_n}|=|{r_n}|={a_1}•{2^{n-1}}$，
∴t₁₀₀=r₁₀₀或t₁₀₀=-r₁₀₀，
若t₁₀₀=-r₁₀₀，不妨設(shè)t₁₀₀＞0，r₁₀₀＜0，
則${T_{100}}={t_1}+{t_2}+…+{t_{99}}+{t_{100}}≥-{a_1}-{a_1}•2-{a_1}•{2^2}-…-{a_1}•{2^{98}}+{a_1}•{2^{99}}$=$-{a_1}（1+2+{2^2}+…+{2^{98}}）+{a_1}•{2^{99}}=-{a_1}×\frac{{1-{2^{99}}}}{1-2}+{a_1}•{2^{99}}={a_1}$．
則${R_{100}}={r_1}+{r_2}+…+{r_{99}}+{r_{100}}≤{a_1}+{a_1}•2+{a_1}•{2^2}+…+{a_1}•{2^{98}}-{a_1}•{2^{99}}$=${a_1}（1+2+{2^2}+…+{2^{98}}）-{a_1}•{2^{99}}={a_1}×\frac{{1-{2^{99}}}}{1-2}-{a_1}•{2^{99}}=-{a_1}$．  
由已知a₁＞0，∴R₁₀₀＜T₁₀₀，與已知不符，∴t₁₀₀=r₁₀₀，
∴R₉₉=T₉₉，同上可得t₉₉=r₉₉，
如此下去，t₉₈=r₉₈，…，t₁=r₁，
即對(duì)于任意的正整數(shù)k（1≤k≤100），均有t_k=r_k成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．