Question

3．在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C：ρsin²θ=2cosθ，過定點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，若直線l和曲線C相交于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；
（Ⅱ）證明：|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)極坐標(biāo)方程，參數(shù)方程和普通坐標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可，
（Ⅱ）在直角坐標(biāo)系下，練習(xí)直線方程和拋物線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答 解：（Ⅰ）由ρsin²θ=2cosθ得ρ²sin²θ=2ρcosθ，
即y²=2x，
由$\left\{\begin{array}{l}x=-2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=-4+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t為參數(shù)）$，兩式相減，消去參數(shù)t得x-y-2=0．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2x}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$得（x-2）²=2x，即x²-6x+4=0，得x=3±$\sqrt{5}$，
則M（3+$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$），N（3-$\sqrt{5}$，1-$\sqrt{5}$），
由兩點(diǎn)間的距離公式得|MN|=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
同理|PM|=5$\sqrt{2}+$$\sqrt{10}$，|PN|=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{10}$，
則有|MN|²=|PM||PN|，
故|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程和普通方程之間的轉(zhuǎn)化以及等比數(shù)列的判斷，利用兩點(diǎn)間的距離公式是解決本題的關(guān)鍵．