【題目】已知函數(shù)f(x)=.
(I)求f(x)在區(qū)間[1,a](a>1)上的最小值;
(II)若關于x的不等式f2(x)+mf(x)>0只有兩個整數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.
【答案】.(1)當1<a≤2時,f(x)的最小值為f(1)=ln2;當a>2,f(x)的最小值為f(a)=;(2)(-ln2,-ln6]
【解析】試題分析:(1)求出,在定義域內(nèi),分別令求得的范圍,可得函數(shù)增區(qū)間, 求得的范圍,可得函數(shù)的減區(qū)間;利用函數(shù)的單調(diào)性求出極值,與區(qū)間端點值的函數(shù)值比較大小可得結(jié)果;(2)時,整數(shù)解有無數(shù)多個,不合題意時,整數(shù)解有無數(shù)多個,不合題意; 時,不等式有兩整數(shù)解,則.
試題解析:(1)f '(x)=,令f '(x)>0得f(x)的遞增區(qū)間為(0, );
令f '(x)<0得f(x)的遞減區(qū)間為(,+),
∵x∈[l,a],則當1<a≤時,f(x)在[1,a]上為增函數(shù),f(x)的最小值為
f(1)=ln2; . . . . . . . . . . . 3分
當a>時,f(x)在[1, )上為增函數(shù),在(,a]上為減函數(shù),f(2)==ln2=f(1),
∴若<a≤2,f(x)的最小值為f(1)=ln2,
若a>2,f(x)的最小值為f(a)=,
綜上,當1<a≤2時,f(x)的最小值為f(1)=ln2;
當a>2,f(x)的最小值為f(a)=.
(2)由(1)知,f(x)的遞增區(qū)間為(0, ),遞減區(qū)間為(,+∞),且在(,+)上ln2x>lne=1>0,又x>0,則f(x)>0. 又f()=0.
∴m>0時,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>0或f(x)<-m,而f(x)>0解集為(,+),整數(shù)解有無數(shù)多個,不合題意;
m=0時,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)≠0,解集為(0, )(,+∞),整數(shù)解有無數(shù)多個,不合題意; . . . . . 10分
m<0時,由不等式f2(x)+mf(x)>0得f(x)>-m或f(x)<0,∵f(x)<0解集為(0, )無整數(shù)解,若不等式f2(x)+mf(x)>0有兩整數(shù)解,則f(3)≤-m<f(1)=f(2),
∴-ln2<m≤-ln6
綜上,實數(shù)m的取值范圍是(-ln2,-ln6]
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【題目】已知四棱錐的底面為平行四邊形,且,, 分別為中點,過作平面分別與線段相交于點.
(Ⅰ)在圖中作出平面使面‖ (不要求證明);
(II)若,在(Ⅰ)的條件下求多面體的體積.
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【題目】燕山公園計劃改造一塊四邊形區(qū)域鋪設草坪,其中百米,百米,,,草坪內(nèi)需要規(guī)劃4條人行道以及兩條排水溝,其中分別為邊的中點.
(1)若,求排水溝的長;
(2)當變化時,求條人行道總長度的最大值.
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【題目】某商場舉行購物抽獎活動,抽獎箱中放有編號分別為的五個小球.小球除編號不同外,其余均相同.活動規(guī)則如下:從抽獎箱中隨機抽取一球,若抽到的小球編號為,則獲得獎金元;若抽到的小球編號為偶數(shù),則獲得獎金元;若抽到其余編號的小球,則不中獎.現(xiàn)某顧客依次有放回的抽獎兩次.
(1)求該顧客兩次抽獎后都沒有中獎的概率;
(2)求該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為元的概率.
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【題目】已知在直角坐標系xOy中,圓C的參數(shù)方程為為參數(shù),以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為.
1求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程;
2設M是直線l上任意一點,過M做圓C切線,切點為A、B,求四邊形AMBC面積的最小值.
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【題目】盒中共有9個球,其中有4個紅球、3個黃球和2個綠球,這些球除顏色外完全相同.
(1)從盒中一次隨機取出2個球,求取出的2個球的顏色相同的概率P;
(2)從盒中一次隨機取出4個球,其中紅球、黃球、綠球的個數(shù)分別記為x1,x2,x3,隨機變量X表示x1,x2,x3中的最大數(shù),求X的概率分布和數(shù)學期望E(X).
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【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列判斷正確的是( 。
A. 函數(shù)的圖象關于點對稱
B. 函數(shù)的圖象關于直線對稱
C. 函數(shù)的最小正周期為
D. 當時,函數(shù)的圖象與直線圍成的封閉圖形面積為
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【題目】為了調(diào)查甲、乙兩個網(wǎng)站受歡迎的程度,隨機選取了14天,統(tǒng)計上午8:00-10:00間各自的點擊量:
甲:73,24,58,72,64,38,66,70,20,41,55,67,8,25
乙:12,37,21,5,54,42,61,45,19,6,71,36,42,14
(1)請用莖葉圖表示上面的數(shù)據(jù).
(2)甲網(wǎng)站點擊量在[10,40]間的頻率是多少?
(3)甲、乙兩個網(wǎng)站哪個更受歡迎?并說明理由.
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【題目】已知向量 ,函數(shù) ,且圖象上一個最高點為與最近的一個最低點的坐標為 .
(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)設為常數(shù),判斷方程在區(qū)間上的解的個數(shù);
(Ⅲ)在銳角中,若,求 的取值范圍.
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