Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
設(shè)函數(shù).
(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)，在恒成立（其中表示的導(dǎo)函數(shù)），求的最大值；
(2)若方程在上有且僅有一個(gè)實(shí)根，求的取值范圍.

Answer 1

(1) (2).

解析試題分析：解：(1),.
法一：在恒成立在恒成立.…………………3分
由在的最小值為，
所以,得，即的最大值為. …………………………………………………6分
法二：令，.
要使在恒成立，則只需在恒成立.
由于的對(duì)稱(chēng)軸為,當(dāng)時(shí)，，
解得，所以的最大值為.……………………………………………………6分
(2)因?yàn)楫?dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí),；
即在和單增，在單減.
所以，.………………………………9分
故當(dāng)或時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)根.
得或時(shí)，方程僅有一個(gè)實(shí)根.
所以.………………………………………………………………12分
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用
點(diǎn)評(píng)：根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式恒成立，來(lái)分析函數(shù)的最值來(lái)得到結(jié)論，同時(shí)對(duì)于方程根的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況來(lái)說(shuō)明即可，屬于中檔題。