Question

【題目】已知是橢圓上的兩點(diǎn).

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知直線過點(diǎn)，且與橢圓交于另一點(diǎn)（不同于點(diǎn)），若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）將A和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓G的方程，列出方程組求出的值，再求出和離心率；
（2）由（1）求出橢圓G的方程，對直線的斜率進(jìn)行討論，不妨設(shè)直線的方程，與橢圓G的方程聯(lián)立后，利用韋達(dá)定理寫出式子，將條件轉(zhuǎn)化為，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出式子，代入化簡后求出的值，即得直線的方程.

解：（1）由已知，

由點(diǎn)在橢圓上可得，

解得.

所以，

所以橢圓的離心率是；

（2）當(dāng)直線過點(diǎn)且斜率不存在時，可得點(diǎn)，不滿足條件；

設(shè)直線的方程為），點(diǎn)，

由可得，

顯然，此方程兩個根是點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

所以，即，

所以，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，

所以，即，

，

即，

，，

當(dāng)時，即直線，與已知點(diǎn)不同于點(diǎn)矛盾，

所以，

所以直線的方程為.