【題目】在三棱錐中，是正三角形，面面，，，、分別是、的中點．

（1）證明：；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出且，利用直線與平面垂直的判定定理可證明出面，從而得出；

（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明出平面，以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，然后利用空間向量法計算出二面角的余弦值．

（1）取的中點，連接、，

，，且．

又，面，又面，；

（2）由面面，平面平面，，平面，可得面.

故以為坐標原點，分別以、、所在直線為軸、軸、軸，

建立如圖所示空間直角坐標系：則，，， ，.

，，設(shè)為平面EFC的一個法向量

由，取，則，． .

又為面的一個法向量，由

如圖知二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為有效促進我市體育產(chǎn)業(yè)和旅游產(chǎn)業(yè)有機融合，提高我市的知名度，更好地宣傳萍鄉(xiāng)武功山，并通過賽事向社會各界傳播健康、低碳、綠色、環(huán)保的運動理念。在今年9月21日第九屆環(huán)鄱陽湖國際自行車大賽第九站比賽在我市武功山舉行。在這次89.5公里的自行車個人賽中，其中25名參賽選手的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示：

（1）現(xiàn)將參賽選手按成績由好到差編為1～25號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中選取5人，已知選手甲的成績?yōu)?45分鐘，若甲被選取，求被選取的其余4名選手的成績的平均數(shù)；

（2）若從總體中選取一個樣本，使得該樣本的平均水平與總體相同，且樣本的方差不大于7，則稱選取的樣本具有集中代表性，試從總體（25名參賽選手的成績）選取一個具有集中代表性且樣本容量為5的樣本，并求該樣本的方差．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，其內(nèi)接正方形的面積為4．

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）設(shè)M為橢圓C的右頂點，過點且斜率不為0的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，記直線PM，QM的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．

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【題目】三棱柱中，為的中點，點在側(cè)棱上，平面.

（1）證明：是的中點；

（2）設(shè)，四邊形為正方形，四邊形為矩形，且異面直線與所成的角為30°，求兩面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），把曲線橫坐標縮短為原來的，縱坐標縮短為原來的一半，得到曲線，直線的普通方程是，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系；

（1）求直線的極坐標方程和曲線的普通方程；

（2）記射線與交于點，與交于點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓上的兩點.

（1）求橢圓的離心率；

（2）已知直線過點，且與橢圓交于另一點（不同于點），若以為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某超市開展年終大回饋，設(shè)計了兩種答題游戲方案：

方案一：顧客先回答一道多選題，從第二道開始都回答單選題；

方案二：顧客全部選擇單選題進行回答；

其中每道單選題答對得2分，每道多選題答對得3分，無論單選題還是多選題答錯都得0分，每名參與的顧客至多答題3道.在答題過程中得到3分或3分以上立刻停止答題，并獲得超市回饋的贈品.

為了調(diào)查顧客對方案的選擇情況，研究人員調(diào)查了參與游戲的500名顧客，所得結(jié)果如下表所示：

14

0

1

2

3

5

6

6

6

6

8

9

15

0

2

3

4

5

5

5

7

9

16

0

0

5

6

7

男性

女性

選擇方案一

150

80

選擇方案二

150

120

（1）是否有95%的把握認為方案的選擇與性別有關(guān)？

（2）小明回答每道單選題的正確率為0.8，多選題的正確率為0.75,.

①若小明選擇方案一，記小明的得分為，求的分布列及期望；

②如果你是小明，你覺得選擇哪種方案更有可能獲得贈品，請通過計算說明理由.

附：，

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知命題：關(guān)于的不等式無解；命題：指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù).

（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若滿足為假命題且為真命題的實數(shù)取值范圍是集合，集合，且，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知雙曲線的左、右焦點分別為，實軸長為4，漸近線方程為，點N在圓上，則的最小值為( )

A. B. 5C. 6D. 7

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