Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AA₁=2AB，且點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：直線BD₁∥平面PAC；
（2）求證：平面PB₁A⊥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，由三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，可知四邊形ABCD是正方形，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，又點(diǎn)P是DD₁的中點(diǎn)，進(jìn)而可知PO∥BD₁，利用線面平行的判定定理推斷出直線BD₁∥平面PAC；      
（2）連結(jié)B₁O，設(shè)AA₁=2AB=2a，在三角形PB₁O中，分別求得B₁P²，B₁O²，PO²，進(jìn)而可知PO²+B₁P²=B₁O²，即PB₁⊥PO，又三棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，推斷出AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知AC⊥BB₁，推斷出AC⊥平面BD₁D，可知B₁P⊥AC，利用線面垂直的判定定理推斷出B₁P⊥平面PAC，最后根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面PB₁A⊥平面PAC．

解答： 證明：（1）連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O，
因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，
所以四邊形ABCD是正方形，所以E是BD的中點(diǎn)，
又點(diǎn)P是DD₁的中點(diǎn)，
所以PO∥BD₁，
而BD₁?平面PAC，PO?平面PAC，
所以直線BD₁∥平面PAC；      
（2）連結(jié)B₁O，設(shè)AA₁=2AB=2a，
在三角形PB₁O中，B₁P₂=3a²，B₁O²=

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a²，
所以PO²+B₁P²=B₁O²，
所以PB₁⊥PO，
因?yàn)槿�棱柱ABC-A₁B₁C₁為正三棱柱，所以AC⊥BD，B₁B⊥平面ABCD，
而AC?平面ABCD，所以AC⊥BB₁，
又BD∩BB₁=B，所以AC⊥平面BD₁D，
因B₁P?平面BD₁D，所以B₁P⊥AC，
又PO∩AC=O，
所以B₁P⊥平面PAC，
又PB₁?PB₁A，
所以平面PB₁A⊥平面PAC．

點(diǎn)評：本題主要考查了面面垂直的判定定理的應(yīng)用，線面平行的判定定理的應(yīng)用．要求學(xué)生能對基礎(chǔ)的定理能熟練記憶．