考點(diǎn):平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:(1)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,由三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,可知四邊形ABCD是正方形,所以O(shè)是BD的中點(diǎn),又點(diǎn)P是DD1的中點(diǎn),進(jìn)而可知PO∥BD1,利用線面平行的判定定理推斷出直線BD1∥平面PAC;
(2)連結(jié)B1O,設(shè)AA1=2AB=2a,在三角形PB1O中,分別求得B1P2,B1O2,PO2,進(jìn)而可知PO2+B1P2=B1O2,即PB1⊥PO,又三棱柱ABC-A1B1C1為正三棱柱,推斷出AC⊥BD,B1B⊥平面ABCD,進(jìn)而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)知AC⊥BB1,推斷出AC⊥平面BD1D,可知B1P⊥AC,利用線面垂直的判定定理推斷出B1P⊥平面PAC,最后根據(jù)面面垂直的判定定理推斷出平面PB1A⊥平面PAC.
解答:
證明:(1)連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,
因?yàn)槿庵鵄BC-A
1B
1C
1為正三棱柱,
所以四邊形ABCD是正方形,所以E是BD的中點(diǎn),
又點(diǎn)P是DD
1的中點(diǎn),
所以PO∥BD
1,
而BD
1?平面PAC,PO?平面PAC,
所以直線BD
1∥平面PAC;
(2)連結(jié)B
1O,設(shè)AA
1=2AB=2a,
在三角形PB
1O中,B
1P
2=3a
2,B
1O
2=
a
2,
所以PO
2+B
1P
2=B
1O
2,
所以PB
1⊥PO,
因?yàn)槿庵鵄BC-A
1B
1C
1為正三棱柱,所以AC⊥BD,B
1B⊥平面ABCD,
而AC?平面ABCD,所以AC⊥BB
1,
又BD∩BB
1=B,所以AC⊥平面BD
1D,
因B
1P?平面BD
1D,所以B
1P⊥AC,
又PO∩AC=O,
所以B
1P⊥平面PAC,
又PB
1?PB
1A,
所以平面PB
1A⊥平面PAC.
點(diǎn)評:本題主要考查了面面垂直的判定定理的應(yīng)用,線面平行的判定定理的應(yīng)用.要求學(xué)生能對基礎(chǔ)的定理能熟練記憶.