Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R的奇函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x²，若對任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，則實數(shù)t的最大值為（　�。�

• A、-

  2

  5

• B、-

  3

  2

• C、-

  2

  3

• D、2

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的表達式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性將不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，即可求出t的最大值．

解答： 解：若x＞0，則-x＜0，
∵當x≤0時，f（x）=x²，
∴f（-x）=x²，
∵f（x）是定義在R的奇函數(shù)，
∴f（-x）=x²=-f（x），
即f（x）=-x²，x＞0，
即f（x）=

x2， x≤0 -x2， x＞0

，
則函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴對任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等價為對任意的x∈[t，t+1]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤-

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+1]，
∴t+1≤-

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤-1，解≥t≤-

2

5

，
則實數(shù)t的最大值為-

2

5

，
故選：A

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的表達式以及判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．