Question

18．設實數(shù)x，y滿足3≤xy²≤8，4≤$\frac{x^2}{y}$≤9，則$\frac{x^3}{y^4}$的取值范圍是27．

Answer 1

分析 首先分析題目求$\frac{x^3}{y^4}$的最大值的問題．不等式$\frac{x^3}{y^4}$的等價轉(zhuǎn)換思想可得到$（\frac{{x}^{2}}{y}）^{2}•\frac{1}{x{y}^{2}}$，然后求解各個表達式的范圍，即可求解$\frac{x^3}{y^4}$的最大值．

解答 解：因為實數(shù)x，y滿足3≤xy²≤8，4≤$\frac{x^2}{y}$≤9，
則有：（$\frac{{x}^{2}}{y}$）²∈[16，81]，$\frac{1}{x{y}^{2}}$∈[$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{3}$]，
再根據(jù) $\frac{x^3}{y^4}$=$（\frac{{x}^{2}}{y}）^{2}•\frac{1}{x{y}^{2}}$∈[2，27]，即當且僅當x=3，y=1取得等號，
即$\frac{x^3}{y^4}$的最大值是27．
故答案為：27．

點評 本題主要考查不等式的基本性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想，等價轉(zhuǎn)換思想在考試中應用不是很廣泛，但是對于特殊題目能使解答更簡便，也需要注意，屬于中檔題．