Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中點．
（1）若AA₁=AB=AC=BC=2，求三棱錐A₁-AEF的體積；
（2）求證：平面EFA₁∥平面BCHG．

Answer 1

分析 （1）直接利用三棱錐的體積公式，求三棱錐A₁-AEF的體積；
（2）利用三角形中位線的性質，證明GH∥B₁C₁，從而可得GH∥BC，從而證明B，C，H，G四點共面；證明平面EFA₁中有兩條直線A₁E、EF分別與平面BCHG中的兩條直線BG、BC平行，即可得到平面EFA₁∥平面BCHG

解答 （1）解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，AA₁=AB=AC=BC=2，
∴三棱錐A₁-AEF的體積V=$\frac{1}{3}{S}_{△AEF}×A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
（2）證明：∵G、H分別為A₁B₁，A₁C₁中點，∴GH∥B₁C₁，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC∥B₁C₁，
∴GH∥BC
∴B、C、H、G四點共面，
∵E、F分別為AB、AC中點，
∴EF∥BC
∴EF∥BC∥B₁C₁∥GH
又∵E、G分別為三棱柱側面平行四邊形AA₁B₁B對邊AB、A₁B₁中點，
∴四邊形A₁EBG為平行四邊形，A₁E∥BG
∴平面EFA₁中有兩條直線A₁E、EF分別與平面BCHG中的兩條直線BG、BC平行
∴平面EFA₁∥平面BCHG．

點評 本題考查平面與平面平行的判定，考查三棱錐A₁-AEF的體積，考查學生分析解決問題的能力，正確運用平面與平面平行的判定定理是關鍵．