Question

已知函數(shù)f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

(1) f（x）=f（e）=e－e－1.
(2) 滿足條件的a的取值范圍是（－，1）

試題分析：
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）=x－x－lnx，f′（x）=2x－1－=>0，
所以f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，∴f（x）=f（e）=e－e－1.             4分
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+）. 由f（x）>0，得|x－a|>.      *
（i）當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，
所以a∈R；                                                      5分
（ii）當(dāng)x=1時(shí)，|1－a|≥0，=0，所以a1；                      6分
（iii）當(dāng)x>1時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于a<x－恒成立或a>x+恒成立.
令h（x）=x－，則h′（x）=.
因?yàn)閤>1，所以h′（x）>0，從而h（x）>1.
因?yàn)閍<x－恒成立等價(jià)于a<（h(x)），所以a≤1.
令g（x）=x+，則g′（x）=.再令e（x）=x+1－lnx，則e′（x）=2x－>0在x∈（1，+）上恒成立，e（x）在x∈（1，+）上無最大值.               11分
綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是（－，1）.                  12分
點(diǎn)評：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題。