Question

3．已知定義域為R的函數(shù)$f（x）=\frac{{b-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）解關(guān)于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用f（0）=0，f（-1）=-f（1），即可求a、b的值；
（Ⅱ）利用（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，f（x）是奇函數(shù)，即可解關(guān)于t的不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，解得b=1，
所以$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{{2^{x+1}}+a}}$．
又由f（1）=-f（-1），解得a=2，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，
又因f（x）是奇函數(shù)，從而不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等價于f（t²-2t）＜-f（2t²1）=f（-2t²+1）．
因f（x）是減函數(shù)，由上式推得t²-2t＞-2t²+1，
即3t²-2t-1＞0解不等式可得t＞1或$t＜-\frac{1}{3}$，
故不等式的解集為：$\left\{{t\left|{t＞1或t＜-\frac{1}{3}}\right.}\right\}$．

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．