Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；

（2）若存在與函數(shù)的圖象都相切的直線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，無(wú)極大值；（2）

【解析】試題分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究單調(diào)性，進(jìn)而得到極值；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有解求參數(shù)的范圍，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)的圖像，從而得到參數(shù)范圍.

解析：

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)時(shí)，，

所以

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值為，無(wú)極大值；

（2）設(shè)函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同，

則

所以

所以，代入得：

設(shè)，則

不妨設(shè)則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

代入可得：

設(shè)，則對(duì)恒成立，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又

所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí),

又當(dāng)時(shí)

因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)必有零點(diǎn)；即當(dāng)時(shí)，必存在使得成立；

即存在使得函數(shù)上點(diǎn)與函數(shù)上點(diǎn)處切線相同．

又由得：

所以單調(diào)遞減，因此

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．