Question

求證方程ax²+2x+1=0有且只有一個(gè)負(fù)數(shù)根的充要條件為a≤0或a=1．

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：推理和證明

分析：首先充分性，分別討論a=1，a=0，與a＜0三種情形；其次怎么必要性，分別討論a=0，與a≠0兩種情形；

解答： 解：充分性：當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?x+1=0，其根為x=-

1

2

，方程只有一個(gè)負(fù)根；
當(dāng)a=1時(shí)，方程為x²+2x+1=0．其根為x=-1，
方程只有一個(gè)負(fù)根．
當(dāng)a＜0時(shí)，△=4（1-a）＞0，方程有兩個(gè)不相等的根，且

1

a

＜0，方程有一正一負(fù)根．
必要性：若方程ax²+2x+1=0有且僅有一個(gè)負(fù)根．
當(dāng)a=0時(shí)，適合條件．
當(dāng)a≠0時(shí)，方程ax²+2x+1=0有實(shí)根，
則△=4（1-a）≥0，∴a≤1，
當(dāng)a=1時(shí)，方程有一個(gè)負(fù)根x=-1．
若方程有且僅有一負(fù)根，則

a＜1 1 a ＜0

∴a＜0
綜上方程ax²+2x+1=0有且僅有一負(fù)根的充要條件為a≤0或a=1

點(diǎn)評：本題借助充分與必要條件考查了一元二次方程根的存在問題，屬于中檔題．