Question

在平面直角坐標系xOy中，點P到兩點（0，

3

）、（0，-

3

）的距離之和等于4．設點P的軌跡為C．
（1）寫出C的方程；
（2）設直線y=kx+1與C交于A、B兩點，k為何值時

OA

⊥

OB

？此時|

AB

|的值是多少？

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）直接利用橢圓的定義求得橢圓的方程；
（2）聯(lián)立直線好橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關系，由

OA

⊥

OB

得兩向量的數(shù)量積為0，由此列式求得k的值，然后利用弦長公式求得|

AB

|的值．

解答： 解：（1）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點，長半軸為a=2的橢圓，
它的短半軸b=

22-( 3 )2

=1，
故曲線C的方程為x²+

y2

4

=1．
（2）由

x2+ y2 4 =1 y=kx+1

消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0，
△=（2k）²-4×（k²+4）×（-3）=16（k²+3）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

．
由時

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，
而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-

3

k2+4

-

3k2

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=

-4k2+1

k2+4

．
由

-4k2+1

k2+4

=0，得k=±

1

2

．
此時x1+x2=-

4

17

或

4

17

，x1x2=-

12

17

．
∴|

AB

|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

42 172 +4× 12 17

=

4 65

17

．

點評：本題考查了橢圓軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線關系的應用，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，常用轉(zhuǎn)化為方程的根與系數(shù)關系解題，是壓軸題．