Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=a_n+log₂a_n，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使S_n-2ⁿ⁺¹-8≤0成立的n的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）利用等比數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，建立方程，求出q，a₁，即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用分組求和，再解不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a₃+2是a₂和a₄的等差中項(xiàng)，∴2（a₃+2）=a₂+a₄
∵2a₁+a₃=3a₂，∴q=2（q=1舍去），a₁=2
∴a_n=a₁q^n-1=2ⁿ…．（6分）
（2）b_n=a_n+log₂a_n=2ⁿ+n．…（7分）
所以S_n=（2+4+…+2ⁿ）+（1+2+…+n）=

2(1-2n)

1-2

+

n(1+n)

2

=2ⁿ⁺¹-2+

1

2

n+

1

2

n2 …．（10分）
因?yàn)镾_n-2ⁿ⁺¹-8≤0，所以n²+n-20≤0
解得-5≤n≤4，故所求的n的取值集合為{1，2，3，4}…．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列求通項(xiàng)公式和等差、等比中項(xiàng)的概念，等差數(shù)列和等比數(shù)列之間的相互轉(zhuǎn)化，考查運(yùn)算能力，屬中檔題．