Question

如圖，在四面體ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，則直線DC與平面ABD所成角的正弦值等于

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：根據(jù)直線和平面所成角的定義，先找出直線DC與平面ABD所成角，利用三角形的邊角關(guān)系即可求出直線DC與平面ABD所成角的正弦值．

解答： 解：如圖所示，
四面體ABCD中，∵△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，且AC=2AB；
設(shè)AB=a，則AC=2a，∴BC=DC=

3

a；
取BD的中點(diǎn)E，連接CE、AE，
則CE⊥BD，AE⊥BD；
又CE∩AE=E，
∴BD⊥平面ACE，
又BD?平面ABD，
∴平面ABD⊥平面ACE，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于F，
則CF⊥平面ABD；
連接DF，則∠CDF就是直線CD與平面ABD所成的角；
∵AB=a，BC=DC=

3

a，
∴AE=

3 a

2

，CE=

( 3 a)2-( a 2 )2

=

11

2

a；
∴cos∠AEC=

AE2+CE2-AC2

2AE•CE

=

3 4 a2+ 11 4 a2-4a2

2× 3 2 a• 11 2 a

=-

33

33

，
∴CF=EC•sin∠AEC=

11

2

a•

1-(- 33 33 )2

=

2 6 a

3

，
∴sin∠CDF=

CF

CD

=

2 6 3 a

3 a

=

2 2

3

即直線DC與平面ABD所成角的正弦值為

2 2

3

．
故答案為：

2 2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求直線與平面所成角的求解，解題的關(guān)鍵是找出直線與平面所成的角，考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．