Question

已知四棱錐S-ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，面SAB⊥底面ABCD，SA=SB=

3

2

a，BC=2a，AB=AD=a，點E，F(xiàn)，M分別是SB，BC，CD的中點．
（Ⅰ）求四棱錐S-ABCD的體積；
（Ⅱ）證明：AB⊥SM；
（Ⅲ）證明：SD∥面AEF．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AB的中點O，連結(jié)SO，SO⊥AB，SO⊥底面ABCD，由此能求出四棱錐S-ABCD的體積．
（Ⅱ）由已知得SO⊥AB，OM⊥AB，由此能證明AB⊥SM．
（Ⅲ）連結(jié)DB交AF于N，連結(jié)EN，EN∥SD，由此能證明SD∥面AFE．

解答： （Ⅰ）解：取AB的中點O，連結(jié)SO，
∵SA=SB，∴SO⊥AB，
∵面SAB⊥面ABCD，∴SO⊥底面ABCD，
∵SA=SB=

3

2

a，AB=a，
∴SO=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a，
∴V=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×a×(a+2a)=

2

4

a3．
（Ⅱ）證明：連結(jié)OM，∵SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AB，
∵O，M分別為AB，CD的中點，
∴AD∥OM，∴OM⊥AB，
∴AB⊥面SOM，∴AB⊥SM．
（Ⅲ）證明：連結(jié)DB交AF于N，連結(jié)EN，
∵AD與BF平行且相等，∴N為DB的中點，
∴EN∥SD，
又SD?平面AFE，EN?平面AFE，
∴SD∥面AFE．

點評：本題考查四棱錐S-ABCD的體積的求法，考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．