設(shè)函數(shù)f（x）=
2
3
x3+x2+ax+b（x＞-1）．
（1）當(dāng)a＞
1
2
時(shí)，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=2x2+2x+a=2（x+
1
2
）2+a-
1
2
；由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）函數(shù)f（x）在其定義域上既有極大值又有極小值可化為f′（x）=2x2+2x+a=0在（-1，+∞）上有兩個(gè)不同的解，從而解得．
解答： 解：（1）f′（x）=2x2+2x+a=2（x+
1
2
）2+a-
1
2
；
當(dāng)a＞
1
2
時(shí)，f′（x）＞0；
所以函數(shù)f（x）在其定義域（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）由題意，f′（x）=2x2+2x+a=0在（-1，+∞）上有兩個(gè)不同的解，
故
△=4-8a＞0
2×(-1)2+2×(-1)+a＞0
，
解得，0＜a＜
1
2
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知α、β均為銳角，且cosα=
1
5
，cos（α+β）=
2
-4
3
10
，求角β．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在空間直角坐標(biāo)系中A（1，2，3），B （-1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），則直線AB與CD的關(guān)系是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x+sinx，x∈（-1，1），若f（1-m）+f（1-m2）＜0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為
 
．

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如圖，在四面體ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC=2AB，則直線DC與平面ABD所成角的正弦值等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M和N分別為AA1和BB1的中點(diǎn)，那么直線CM與D1N所成角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2an-2n，（n∈N*）
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=log2（an+2），Tn為數(shù)列{
bn
an+2
}的前n項(xiàng)和，求證：Tn≥
1
2
；
（3）數(shù)列{an}中是否存在三項(xiàng)ar，as，at，（r＜s＜t）成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex-kx．
（1）設(shè)曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為l，若l與圓x2+（y-1）2=1相切，求k的值；
（2）若k＞0，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x≥0時(shí)，f（x）＞0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x），求證：F(1)F(2)…F(n)＞(en+1+2)
n
2
(n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若方程4x+（m-3）•2x+m=0有兩個(gè)不相同的實(shí)根，則m的取值范圍是
 
．

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