Question

如右圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,PD與底面成30°角.若AE⊥PD,E為垂足,

(1)求證:BE⊥PD;

(2)求異面直線AE與CD所成角的大小.(用反三角函數(shù)表示)

Answer 1

分析：求一對異面直線所成的角,一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角；二是在異面直線上各取兩個(gè)向量,轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或補(bǔ)角.

(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB.

再由AB⊥AD,得AB⊥平面PAD.

所以AB⊥PD.

又因?yàn)锳E⊥PD,

所以PD⊥平面ABE.

故BE⊥PD.

(2)解:如圖所示,以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線為坐標(biāo)軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則C,D的坐標(biāo)分別為C(a,a,0),D(0,2a,0),

因?yàn)镻A⊥平面ABCD,∠PDA是PD與底面ABCD所成的角,

所以∠PDA=30°.

于是,在Rt△AED中,由AD=2a,得AE=a,

過E作EF⊥AD,垂足為F,在Rt△AFE中,

由AE=a,∠EAF=60°,得AF=a,EF=a.

所以E(0,a,a).

于是,=(0,a,a),=(-a,a,0).

設(shè)與DS的夾角為θ,則由

cosθ=

=.

所以θ=arccos.

所以AE與CD所成角的大小為arccos.

點(diǎn)撥：求異面直線所成的角時(shí)，要注意它的范圍是（0，］.