Question

12．己知f（x）=e^x-alnx-a，其中常數(shù)a＞0．
（1）當(dāng)a=e時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求證：$\frac{1}{a}＜{x_1}＜1＜{x_2}$＜a；
（3）求證：e^2x-2-e^x-1lnx-x≥0．

Answer 1

分析 （1）求出a=e的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，即可求得極值；
（2）先證明：當(dāng)f（x）≥0恒成立時(shí)，有 0＜a≤e成立．若$0＜x≤\frac{1}{e}$，則f（x）=e^x-a（lnx+1）≥0顯然成立；若$x＞\frac{1}{e}$，運(yùn)用參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理，即可得證；
（3）討論當(dāng)a=e時(shí)，顯然成立，設(shè)$h（x）=\frac{x}{e^x}（x＞0）$，求出導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間可得最大值，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）當(dāng)a=e時(shí)，f（x）=e^x-elnx-e，$f'（x）={e^x}-\frac{e}{x}$，
而$f'（x）={e^x}-\frac{e}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又f′（1）=0，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜f'（1）=0，則f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞f'（1）=0，則f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（x）有極小值f（1）=0，沒(méi)有極大值；                                            
（2）先證明：當(dāng)f（x）≥0恒成立時(shí)，有 0＜a≤e成立．
若$0＜x≤\frac{1}{e}$，則f（x）=e^x-a（lnx+1）≥0顯然成立；
若$x＞\frac{1}{e}$，由f（x）≥0得$a≤\frac{e^x}{lnx+1}$，
令$φ（x）=\frac{e^x}{lnx+1}$，則$φ'（x）=\frac{{{e^x}（lnx+1-\frac{1}{x}）}}{{{{（lnx+1）}^2}}}$，
令$g（x）=lnx+1-\frac{1}{x}（x＞\frac{1}{e}）$，
由$g'（x）=1+\frac{1}{x^2}＞0$得g（x）在$（\frac{1}{e}，+∞）$上單調(diào)遞增，
又g（1）=0，所以φ′（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上為負(fù)，在（1，+∞）上為正，
因此φ（x）在$（\frac{1}{e}，1）$上遞減，在（1，+∞）上遞增，即有φ（x）_min=φ（1）=e，
從而0＜a≤e．因而函數(shù)y=f（x）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＞e，即有f（1）=e-a＜0，
由f（a）=e^a-alna-a（a＞e）得f'（a）=e^a-lna-2，
則$f''（a）={e^a}-\frac{1}{a}＞{e^a}-\frac{1}{e}＞e-\frac{1}{e}＞0$，
則f′（a）=e^a-lna-2在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
即有f′（a）＞f'（e）=e^e-3＞e²-3＞0，
則有f（a）=e^a-alna-a在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（a）＞f（e）=e^e-2e＞e²-2e＞0，則f（1）f（a）＜0，則有1＜x₂＜a；
由a＞e得$f（\frac{1}{a}）={e^{\frac{1}{a}}}-aln\frac{1}{a}-a={e^{\frac{1}{a}}}+alna-a＞{e^{\frac{1}{a}}}+alne-a={e^{\frac{1}{a}}}＞0$，則$f（1）f（\frac{1}{a}）＜0$，
所以$\frac{1}{a}＜{x_1}＜1$，綜上得$\frac{1}{a}＜{x_1}＜1＜{x_2}＜a$．          
（3）證明：由（2）知當(dāng)a=e時(shí)，f（x）≥0恒成立，所以f（x）=e^x-elnx-e≥0，
即f（x）=e^x-elnx≥e，
設(shè)$h（x）=\frac{x}{e^x}（x＞0）$，則$h'（x）=\frac{1-x}{e^x}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0，所以h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
所以$h（x）=\frac{x}{e^x}（x＞0）$的最大值為$h（1）=\frac{1}{e}$，即$\frac{x}{e^x}≤\frac{1}{e}$，因而$\frac{x}{{{e^{x-2}}}}≤e$，
所以$f（x）={e^x}-elnx≥e≥\frac{x}{{{e^{x-2}}}}$，即e^2x-2-e^x-1lnx-x≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．