Question

已知△AOB，O為坐標原點，點A（1，0），B為橢圓

x2

4

+y²=1上的動點，若點M滿足

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

求點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：設點M的坐標為（x，y），因為點M隨著點B在動，故設動點B（m，n），則動點B的軌跡為已知，由

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

找到點M與點B間的坐標關(guān)系，代入橢圓方程即可得點M的軌跡方程

解答：解：設M（x，y），B（m，n）
∴

OM

=（x，y），

OA

=（1，0），

OB

=（m，n）
∵

OM

=

2

3

OA

+

1

3

OB

∴（x，y）=

2

3

（1，0）+

1

3

（m，n）
∴

x= 1 3 m+ 2 3 y= 1 3 n

即

m=3x-2 n=3y

∵B為橢圓

x2

4

+y²=1上的動點，
∴

m2

4

+n2=1
∴

(3x-2)2

4

+(3y)2=1
化簡得（3x-2）²+36y²=4
∴點M的軌跡方程為（3x-2）²+36y²=4

點評：本題考查了解析幾何的基本思想，坐標法求動點的軌跡方程，向量與解析幾何的綜合