Question

3．已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
（1）當a=1時，判斷集合B⊆A是否成立？
（2）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=1時，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|-1＜x+1≤4}，根據(jù)集合包含關(guān)系的定義，可得結(jié)論；
（2）根據(jù)集合包含關(guān)系的定義，對a進行分類討論，最后綜合，可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=1時，集合A={x|0＜x+1≤5}={x|-1＜x+1≤4}，B={x|-$\frac{1}{2}$＜x≤2}．
∴B⊆A成立；
（2）當a=0時，A=R，A⊆B不成立；
當a＜0時，A={x|0＜ax+1≤5}={x|$\frac{4}{a}$≤x＜$\frac{-1}{a}$}，
若A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}＞-\frac{1}{2}\\ \frac{-1}{a}≤2\\ a＜0\end{array}\right.$，解得：a＜-8；
當a＞0時，A={x|0＜ax+1≤5}={x|$\frac{-1}{a}$＜x≤$\frac{4}{a}$}，
若A⊆B，則$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a}≤2\\ \frac{-1}{a}≥-\frac{1}{2}\\ a＞0\end{array}\right.$，解得：a≥2；
綜上可得：a＜-8，或a≥2

點評 本題考查的知識點是集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用，難度中檔．